傅立叶变换

以周期序列的傅立叶变换为例。

$$Ked(k, n) = e^{j \frac{2 \pi} {N} k} (n, k都为整数)$$

用$ W_N^{-n k} = e^{j \frac{2 \pi} {N} k} $表示周期单元的复指数序列。

对于Ked函数我们得到这样的性质：

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{N-1} {Ked(k, n)\left[{Ked(m, n)}\right]^*} &= \sum{W_N^{-n k}(W_N^{-n m})^*} \\ &= \sum{W_N^{(m-n) k}} \\ &= N\widetilde\delta(m-k) \\ &= \left\{ \begin{aligned} N, && \left<m-k\right>_N = 0 \\ 0, && else \end{aligned} \right. \end{aligned}$$

同理：

$$\sum_{n=0}^{N-1} {Ked(k, n) [{Ked(k, l)} ]^*} = \sum{W_N^{-n k}(W_N^{-l k})^*} = \sum{W_N^{(m-n) k}} = N\widetilde\delta(l-n)$$

记一个新的函数：

$$Add(n) = \sum_{k=0}^{N-1} {Ked(k, n)}$$

由$Ked$的性质，令$l=0$，可知：

$$Add(n) = N\widetilde\delta(-n) = N\widetilde\delta(n)$$

即：

$$\widetilde\delta(n) = \frac 1N Add(n) = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1} {Ked(k, n)}$$

因此对于周期单位冲激序列$\widetilde\delta(n)$，都可以表示成N个周期复指数序列的和。而对于一般周期序列，又可以表示成多个$\widetilde\delta(n)$的加权和。因而可以将任意周期序列表示成多个周期复指数序列的加权和。

对于一个函数$x(n)$，可以表示为：

$$x(n) = x(n)*\widetilde\delta(n) = \sum_{i=0}^{N-1} { x(i) \widetilde\delta(n-i) }$$

继续展开：

$$x(n) = \sum_{i=0}^{N-1} { x(i) \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1} {Ked(k, n)} }$$

假设一个新的东西：

$$X(k) = \sum_{k=0}^{N-1} {Ked(k, n)}$$

则我们有离散序列的傅里叶变换和反傅里叶变换如下：

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} {x(n)W_N^{n k} }$$ $$x(k) = \sum_{n=0}^{N-1} {X(n)W_N^{- n k} }$$

这就是离散序列的傅里叶变换。类似的傅里叶变换种类还有很多，但是它们的推导都非常类似。傅立叶变换的七种不同形式是：

• 连续周期信号的连续傅里叶级数变换
• 连续时间信号的连续傅里叶级数变换
• 连续时间信号的拉普拉斯变换
• 离散周期信号的离散傅里叶级数变换
• 离散时间信号的序列傅里叶变换
• 离散时间信号的Z变换
• 典型有限序列的离散傅里叶变换

之后如果有时间我会尝试介绍一下快速傅立叶变换（FFT）

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参考资料:

《傅立叶变换》 清华大学出版社 冷建华 编著